MAT-3052

Sondage: Étude statistique qui porte sur une portion de la population. Cette portion s'appelle un échantillon.

Recensement: Étude statistique qui porte sur tous les individus d'une population.

• Méthode très coûteuse
• Très longue
• Très précise (complète)

Méthode d'échantillonnage:

• Grappes: La population divisées en groupes, au hasard, pour l'échantillon.
• Statifié: population hétérogène, répartition en sous-groupes homogènes appelé states. Chaque strate est représentée sous forme de rapport (taille de la strate / taille de la population)

Diagrammes

• Diagrammes à ligne brisée, phénomène qui évolue dans le temps.

• Diagramme à bandes, caractère qualitatif ou quantitatif discret.

• Diagramme circulaire, un tout partagé en parties (angle et pourcentage)

• Histogramme, diagramme en bandes verticales collées entre elle et qui représente des données regroupées en classes.

Source: pixabay

Tableaux de données:

• Le tableau de données condensées est utilisé quand il y a un grand nombre de données qui ont tendance à se répéter. L'effectif correspond au nombre de fois que la donnée se répète.

• Le tableau de données groupées par classes est utilisé quand un grand nombre de données ne se répète pas. Chaque caisse est écrite sous forme d'intervalle. L'effectif correspond au nombre de données dans chaque classe. L'amplitude de chaque classe est calculée de la façon suivante:(Plus grande donnée - plus petite donnée)/ Nombre de classes

Mode: La donnée a plus fréquente

• Dans un tableau de données condensées, le mode est la donnée la plus fréquente donc la donnée dont la colonne est la plus élevée.

• Dans un tableau de données regroupées par classe, le mode est le milieu de la classe modale.

Classe modale: La classe dont la fréquence est la plus élevée.

Médiane: 

Mesure de tendance centrale, il faut quelle distribution soit classée par ordre croissant. La façon de déterminer la médiane peut varier selon le type de distribution.

Dans un tableau de données condensées, la médiane:

Compter le nombre de données

• Si le nombre de données est impair 

• Si le nombre de données est pair, il faut faire la moyenne des deux données.

Aller voir la position obtenue dans le tableau afin de déterminer la médiane.

Exemple: 

L'important c'est d'avoir le même nombre de données à gauche et à droite de la ligne ou du cercle.

Dans un tableau de données regroupées par classe, la médiane est le milieu de la classe tout en calculant le nombre de donnée et en utilisant le nombre pair ou impair.

Classe médiane: La classe ou se situe la médiane.

Moyenne: Mesure de tendance centrale.

Exemple: On additionne toutes les données et on divise par le nombre de données.

Exemple: 

Dans un tableau de données condensées, la Mayenne se calcule:

Donnée x fréquence - On trouve le produit pour chaque range ensuite on fait la somme et on divise le résultat par le nombre total de donnée.

Moyenne pondérée: 

La moyenne pondérée est utilisée dans des situations ou les valeurs n'ont pas toutes la même importance. On attribue alors une pondération à chacune des valeurs.

Elle peut être calculée de la façon suivante:

Pondération x valeur - On trouve le produit pour chaque rangée ensuite on fait la somme et on divise par le nombre total de donnée.

Diagramme de quartiles

• Étendue: Maximum - minimum
• Étendue interquartile (EI): Q3 - Q1
• Étendue du 1er quart: Q1 - minimum
• Étendue du 2e quart: Q2 - Q1
• Étendue du 3e quart: Q3 - Q2
• Étendue du 4e quart: Maximum - Q3

Diagramme de quartiles: Une distribution ordonnée en 4 sous-ensembles égaux (les quarts) qui équivaut à 25 % des données.

Pour faire le diagramme de quartiles: 

Probabilités

• Diagramme de Venn: Le diagramme est une représentation graphique pour représenter des ensembles. Les éléments de l'ensemble sont identifiés par des points entourés d'une courbe fermée dont tous les éléments sont situés à l'intérieur de la courbe.

• Ensembles égaux: Deux ensembles sont égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments.
• Union ou réunion: L'ensemble de tous les éléments de A et de B réunis. 

• Intersection: L'ensemble de tous les éléments de A et B qui sont à la fois dans A et dans B.

• Diagramme circulaire: Le diagramme est une représentation graphique qui permet de visualiser un tout réparti en secteur. La fréquence relative de chaque donnée correspond à un angle. Au centre qui est proportionnel à la fréquence. Ce diagramme représente des valeurs à caractère qualitatif ou quantitatif discret.

• Univers des possibles: Ensemble de tous les résultats possibles.

• Événement: Un sous-ensemble de l'univers des possibles.

• Événement élémentaire: Un événement qui contient seulement un résultat.

• Événements compatibles: Deux événements sont compatibles s'ils se produisent en même temps donc ils ont un ou des éléments en commun. L'intersection des ensembles n'est pas vide.

• Événements incompatibles: Deux événements sont incompatibles s'ils ne se produisent pas en même temps donc ils n'ont aucun élément en commun. L'intersection est alors vide.

• Événements complémentaires: Deux événements sont complémentaires s'ils ne possèdent aucun élément en commun et si l'union des deux forme l'univers des possibles.

• Événement certain: L'événement qui est assuré de se produire et qui correspond à l'univers des possibles. La probabilité est de 100 %.

• Événement impossible: L'événement qui correspond à l'ensemble vide. Il y a aucune chance de se produire donc la probabilité est nulle.

Probabilité d'un événement 

La probabilité d'un événement correspond au nombre de chances que cet événement a de se produire.

La probabilité d'un événement peut aussi être constituées de la somme des probabilités de plusieurs événements.

Exemple: Quelle est la probabilité de piger un valet dans un jeu de cartes. Il y a 4 valets dans un jeu de 52 cartes alors la probabilité sera

Expérience aléatoire

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est le fruit du hasard et les résultats possibles sont connus.

• Avec remise, les probabilités sont les mêmes car les événements sont indépendants puisque les mêmes conditions sont respectées pour les événements suivants.

• Sans remise, les probabilités changent car les événements sont dépendants puisque l'univers des possibles est plus petit.

• En ne tenant pas compte de l'ordre, l'univers des possible possède généralement moins de résultats car les résultats ne suivent pas une séquence particulière.

• En tenant compte de l'ordre, tous les résultats sont comptés.

Exemples:  On pige une dame ou un valet d'un jeu de cartes et on lance une pièce de monnaie.

• Avec ordre: (D, P); (D, F); (V, P); (V, F) ; (F, D); (F, V); (P, D); (P, V)
• Sans ordre: (D, P); (D, F); (V, P); (V, F)

Arbre de probabilités

Un arbre de probabilité est une représentation qui sert à dénombrer des éléments.

• Construire l'arbre des probabilités
• Le nombre de sections équivaut au nombre de lancers ou de tours, de piges,...
• Le nombre de branches correspond au nombre de cas possibles
• Additionner toutes les probabilités des événements.

Dénombrement 

Le nombre de sous-ensemble que l'on peut former à partir d'un ensemble soit en tenant compte ou pas de l'ordre et aussi avec répétition (avec remise) ou pas (sans remise). Quand l'ordre est important, il y a plus de résultats possibles. Pour bien faire l'analyse, nous devons suivre les étapes:

1. Est-ce que l'ordre des éléments est important?
2. Est-ce que la répétition est permise ?
3. Combine de possibilités pour chaque position ?
4. Multiplier les nombres de possibilités pour chaque position.

Exemple avec ou sans ordre: 
On pige une dame ou un valet d'un jeu de cartes et on lance une pièce de monnaie.

• Avec ordre: 4 possibilités x 2 positions

• Sans ordre: 2 possibilités x 2 positions

(D, P); (D, F); (V, P); (V, F)

Exemple avec ou sans répétition:
On veut former un mot de passe à 3 lettres Abou et c

• Avec répétition: (1ere position) 3 possibilités x 3 possibilités (2e position) x 3 possibilités (3e position) = 27

• Sans répétition: (1ere position) 3 possibilités x 2 possibilités (2e position) x 1 possibilités (3e position) = 6

Disposition ordonnée de tous les éléments d'un ensemble sans répétition. La formule pour calculer le nombre de permutations est: n!

Exemple: mot de passe à 3 lettres a, b, c

(1ere position) 3 possibilités x 2 possibilités (2e position) x 1 possibilités (3e position) = 6
(abc); (ace), (bac), (bca), (cab), (cba)
Calcul: 3 ! = 3 x 2 x 1 = 6

Arrangement

Disposition ordonnée d'un certain nombre d'éléments, pris dans un ensemble donné cela avec ou sans répétition ou remise. (n est le nombre d'objets et k est le nombre d'objets choisis parmi les n objets)

Exemple: Un ensemble de deux lettres composé des lettres A, B, C

• Avec répétition: la formule est: 

• Sans répétition: la formule est n !

3 X 2 X 1 = 6 possibilités
AB, BA, AC, CA, BC, CB

Combinaison

Disposition d'un certain nombre d'éléments, sans ordre d'un certain nombre d'objets d'ou n est le nombre d'objets et k est le nombre d'objets choisis parmi n objets.

Exemple: Un ensemble de deux lettres composé des lettres A, B, C

• Sans répétition: la formule est

• Avec répétition: la formule est

Probabilité géométrique à deux dimensions

P(E) = volume de la section / volume total

Exemple: Probabilité de choisir un point dans le cylindre