Objectifs d'apprentissage
Connaitre les concepts suivants:
- Fonction en escalier
- Fonction périodique
- Fonction polynomiale du second degré
- Fonction exponentielle
- Fonction définie par parties
- Droites
- Systèmes d'équations
Propriétés des exposants
Une relation
Une relation est un lien entre deux variables, la variable dépendante et la variable indépendante. Le relation est traduite par une règle. Il existe plusieurs façons de représenter une relation.
Exemple: y = 2x - 1
La variable dépendante (y) est la variable qui varie sous l'influence de l'autre variable (x).
La variable indépendante (x) est la variable qui varie sans l'influence d'une autre variable (y).
La réciproque d'une fonction
La réciproque d'une fonction est la fonction inverse de cette dernière. Elle s'obtient en inter changeant la variable x et y.
Recherche de la règle d'une fonction quadratique
Exemple: Voici les coordonnées d'un point de la fonction (2, -1)
Résolution d'une équation du second degré à deux variables
Exemple: Trouver la valeur du x quand la variable y vaut 6 dans l'équation
Fonction exponentielle
Une fonction exponentielle est une fonction d'ou la variable indépendante se retrouve en exposant. Le terme c est la base et la valeur initiale est a (L'ordonnée à l'origine)
Recherche de la règle d'une fonction exponentielle à l'aide de la valeur initiale et d'un point
Recherche de la règle d'une fonction exponentielle à l'aide de deux points
Exemple:
Fonction définie par parties
Une fonction qui est composé de plusieurs équations appliquées à différents intervalles du domaine. Les parties qui constituent une telle fonction peuvent appartenir à différentes familles de fonctions.
Différentes formes de l'équation d'une droite
Remarque
Méthode de comparaison
Méthode de substitution
Méthode d'élimination par addition ou de réduction
Une relation est un lien entre deux variables, la variable dépendante et la variable indépendante. Le relation est traduite par une règle. Il existe plusieurs façons de représenter une relation.
- Table des valeurs
- Graphique
- Règle
Exemple: y = 2x - 1
La variable dépendante (y) est la variable qui varie sous l'influence de l'autre variable (x).
La variable indépendante (x) est la variable qui varie sans l'influence d'une autre variable (y).
Une fonction:
Une fonction est une relation dont chaque valeur de x correspond uniquement une valeur de y.
Exemple:
Notation fonctionnelle:
La réciproque d'une fonction est la fonction inverse de cette dernière. Elle s'obtient en inter changeant la variable x et y.
Fonction polynomiale de degré 0
y = b ou f(x) = b ou b est une constante (droite horizontale, y = 0x + b)
Propriétés d'une fonction polynomiale de degré 0
- Domaine: L'ensemble de toutes les valeurs de x pour lequel la fonction existe (R)
- Codomaine: L'ensemble de toutes les valeurs de y pour lequel x est définit (b)
- Signe:
- Si b > 0 donc positif, la fonction est positive
- Si b < 0 donc négatif, la fonction est négative
- Valeur initiale: b
- Zéros:
- Si b est différent de 0, aucun zéro
- Si b = 0, alors toutes les valeurs de la droite (R)
Fonction polynomiale de degré 1 (fonction linéaire ou fonction affine)
y = ax + b ou f(x) = ax + b ou a est différent de 0 (droite oblique)
a: taux de variation ou la pente
b: valeur initiale ou ordonnée à l'origine
Propriétés d'une fonction polynomiale de degré 1
- Domaine: R
- Codomaine: R
- Valeur initiale: b
- Zéros: x = -b/a
- Variation:
Trouver la règle d'une relation
- A partir de deux points
- À partir d'un point et de la pente
Fonction en escalier (partie entière)
Une fonction dont les valeurs sont constantes sur des intervalles. Son graphique est représenté par des marches de longueurs identiques ou différentes. Les valeurs extrêmes (changement de marches) sont appelés valeurs critiques.
Caractéristiques
Domaine (x)
L'ensemble formé des éléments de l'ensemble de départ qui satisfont la relation (variable indépendante). Le domaine est parfois R sinon, selon le contexte de la situation..
Codomaine ou image (y)
L'ensemble formé des éléments de l'ensemble d'arrivée qui satisfont la relation (variable dépendante). Les valeurs de y sont limitées à certaines valeurs.
Variation: Une fonction peut être croissante, décroissante ou nulle
Une fonction dont les valeurs sont constantes sur des intervalles. Son graphique est représenté par des marches de longueurs identiques ou différentes. Les valeurs extrêmes (changement de marches) sont appelés valeurs critiques.
Caractéristiques
Domaine (x)
L'ensemble formé des éléments de l'ensemble de départ qui satisfont la relation (variable indépendante). Le domaine est parfois R sinon, selon le contexte de la situation..
Codomaine ou image (y)
L'ensemble formé des éléments de l'ensemble d'arrivée qui satisfont la relation (variable dépendante). Les valeurs de y sont limitées à certaines valeurs.
Variation: Une fonction peut être croissante, décroissante ou nulle
- Croissance: Une fonction est croissante lorsqu'elle monte de gauche à droite dans un graphique.
- Décroissance: Une fonction est décroissante lorsqu'elle:elle descend de gauche à droite dans un graphique.
Extremum
Signes
Abscisses à l'origine ou zéro:
Les valeurs de la variable x quand la variable y vaut 0. Elle représente un intervalle ou aucun intervalle.
Valeur initiale ou ordonnée à l'origine
La valeur de la variable y quand la variable x vaut 0.
Fonction périodique
Une fonction périodique est une fonction qui lorsqu'elle est appliquée à une variable, reprend la même valeur si on ajoute à cette variable une certaine quantité fixe appelée période. Il y a une section du graphique qui se répète.
Exemple:
Caractéristiques
Domaine (x)
L'ensemble formé des éléments de l'ensemble de départ qui satisfont la relation (variable indépendante). Le domaine est R.
Codomaine ou image (y)
L'ensemble formé des éléments de l'ensemble d'arrivée qui satisfont la relation (variable dépendante).
Les valeurs de y sont limitées à certaines valeurs.
Exemple:
- Maximum: La plus grande valeur de la variable y ou dépendante.
- Minimum: La plus petite valeur de la variable y ou dépendante.
Signes
Les valeurs de la variable x quand la variable y vaut 0. Elle représente un intervalle ou aucun intervalle.
Valeur initiale ou ordonnée à l'origine
La valeur de la variable y quand la variable x vaut 0.
Fonction périodique
Une fonction périodique est une fonction qui lorsqu'elle est appliquée à une variable, reprend la même valeur si on ajoute à cette variable une certaine quantité fixe appelée période. Il y a une section du graphique qui se répète.
Exemple:
Caractéristiques
Domaine (x)
L'ensemble formé des éléments de l'ensemble de départ qui satisfont la relation (variable indépendante). Le domaine est R.
Codomaine ou image (y)
L'ensemble formé des éléments de l'ensemble d'arrivée qui satisfont la relation (variable dépendante).
Les valeurs de y sont limitées à certaines valeurs.
Exemple:
Abscisses à l'origine ou zéro:
Les valeurs de la variable x quand la variable y vaut 0. Elle représente un intervalle ou aucun intervalle.
Exemple :
Valeur initiale ou ordonnée à l'origine
La valeur de la variable y quand la variable x vaut 0.
Période
L'écart entre les abscisses dont les valeurs de deux y consécutifs sont les mêmes.
Extremum
Les valeurs de la variable x quand la variable y vaut 0. Elle représente un intervalle ou aucun intervalle.
Exemple :
Valeur initiale ou ordonnée à l'origine
La valeur de la variable y quand la variable x vaut 0.
Période
L'écart entre les abscisses dont les valeurs de deux y consécutifs sont les mêmes.
Extremum
- Maximum: La plus grande valeur de la variable y ou dépendante.
- Minimum: La plus petite valeur de la variable y ou dépendante.
- Croissance: Une fonction est croissante lorsqu'elle monte de gauche à droite dans un graphique.
- Décroissance: Une fonction est décroissante lorsqu'elle:elle descend de gauche à droite dans un graphique.
Signes
- Fonction positive: La fonction est positive lorsque las valeurs des la variable y ou dépendante sont positives ou nulles.
- Fonction négatives: La fonction est négative lorsque les valeurs de la variable y ou dépendante sont négatives ou nulles.
Fonction polynomiale du second degré ou fonction quadratique
Recherche de la règle d'une fonction quadratique
- Remplacer le x et le y donné dans la fonction afin de déterminer la valeur du paramètre a.
- Écrire la règle sous la forme demandée avec la valeur de la variable trouvée.
Exemple: Voici les coordonnées d'un point de la fonction (2, -1)
Résolution d'une équation du second degré à deux variables
- Substituer la valeur donnée dans la fonction.
- Isoler le terme manquant
- Résoudre afin de trouver la valeur demandée.
Exemple: Trouver la valeur du x quand la variable y vaut 6 dans l'équation
Fonction exponentielle
Une fonction exponentielle est une fonction d'ou la variable indépendante se retrouve en exposant. Le terme c est la base et la valeur initiale est a (L'ordonnée à l'origine)
- Remplacer la valeur initiale a dans la fonction
- Substituer la valeur du x et du y dans la fonction afin de déterminer la valeur du c.
- Résoudre l'équation obtenue.
- Écrire la règle avec la valeur initiale et la valeur du c trouvée.
Recherche de la règle d'une fonction exponentielle à l'aide de deux points
- Écrire une équation en remplaçant les coordonnées d'un des points.
- Écrire une deuxième équation en remplaçant les coordonnées du deuxième point.
- Isoler la variable a dans les deux équations.
- Afin de comparer les équations, il faut mettre les 2 équations égales entre elles.
- Résoudre la nouvelle équation en simplifiant les deux côtés.
- Extraire la racine afin de trouver la valeur de la base.
- Trouver ensuite la valeur de a.
- Écrire la fonction obtenue.
Exemple:
Fonction définie par parties
Une fonction qui est composé de plusieurs équations appliquées à différents intervalles du domaine. Les parties qui constituent une telle fonction peuvent appartenir à différentes familles de fonctions.
Fonction polynomiale de degré 1 (fonction linéaire ou fonction affine)
y = ax + b ou f(x) = ax + b ou a est différent de 0 (droite oblique)
a: taux de variation ou la pente
b: valeur initiale ou ordonnée à l'origine
Propriétés d'une fonction polynomiale de degré 1
- Domaine: R
- Codomaine: R
- Valeur initiale: b
- Zéros: x = -b/a
- Variation:
Trouver la règle d'une relation
- A partir de deux points
- À partir d'un point et de la pente
Différentes formes de l'équation d'une droite
Transformation d'une forme à l'autre
Droites parallèles
Deux droites sont parallèles si elles ont la même pente a1 = a2
Droites perpendiculaires
Deux droites sont perpendiculaires si elles ont des pentes inversées et opposées. Le produit de leur pente est -1.
Deux droites sont parallèles si elles ont la même pente a1 = a2
- Si elles ont la même ordonnée à l'origine (b) alors elles sont confondues.
- Si elle n'ont pas la même ordonnée à l'origine alors elles sont distinctes.
Deux droites sont perpendiculaires si elles ont des pentes inversées et opposées. Le produit de leur pente est -1.
Systèmes d'équations du premier degré à deux variables.
- Résoudre à l'aide de la table des valeurs
- Trouver le point commun
- Résoudre graphiquement
- Isoler la variable y de la première équation
- Remplir la table des valeurs associée
- Placer les points sur le graphique
- Relier les points
- Refaire les mêmes étapes pour la deuxième équation
- Le point d'intersection des deux droites est la solution du système
- Écrire la solution sous forme de couple (x, y)
- Résoudre graphiquement - deuxième méthode
- Isoler le y de la première équation
- Placer l'ordonnée à l'origine sur le graphique
- Fair el déplacement de l pente sur le graphique
- Relier les deux points
- Refaire les mêmes étapes pour la deuxième équation sur le même graphique
- Le point d'intersection est la solution du système.
- Dans un graphique si les deux droites sont parallèles, il y a aucune solution.
- Dans un graphique si les droites sont confondues, il y a une infinité de solutions.
- Isoler la même variable dans les 2 équations
- Afin de comparer les équations, il faut mettre les 2 équations égales.
- Résoudre la nouvelle équation
- Trouver la valeur de la 2e coordonnée en remplaçant la première valeur trouvée dans une des équations.
- Écrire la solution sous forme de couple (x, y).
- Isoler une variable dans une des équations.
- Substituer cette variable dans la 2e équations.
- Résoudre la nouvelle équation.
- Trouver la valeur de la 2e coordonnées en remplaçant la première valeur trouvée dans une des équations.
- Écrire la solution sous forme de couple (x, y).
- Écrire les équations sous la même forme Ax + By = C
- Éliminer une des variables en multipliant chacune des équations par un facteur afin d'obtenir le même résultat.
- Additionner ou soustraire les 2 équations.
- Résoudre l'équation
- Trouver la valeur de la 2e coordonnées en remplaçant la valeur de la première dans une des équations.
- Écrire la solution sous forme de couple (x, y).
