Objectifs d'apprentissage
Être capable de :
- Déterminer la position d'un point dans un plan.
- Situer un point sur un plan.
- Connaître les deux systèmes de coordonnées : rectangulaires (cartésiennes) et polaires.
- Convertir des coordonnées polaires en coordonnées rectangulaires (cartésiennes) et vice versa.
Connaissances à construire
Plan cartésien à deux dimensions
- Lorsque nous jouons à la bataille navale, nous donnons les deux coordonnées de l'endroit que nous visons pour tenter de toucher un bateau parmi la flotte de notre adversaire (consultez cette page pour un petit rappel du système de repérage et des règles de la bataille navale).
- Un plan cartésien ressemble aux grilles des batailles navales. Son quadrillage permet repérer précisément un endroit (un point) dans un espace plat comme celui d'une page. Il est définit par un axe gradué horizontal et un axe gradué vertical qui se coupent à l'origine (la graduation 0).
- La position x d'un point sur l'axe horizontal et sa position y sur l'axe vertical sont les coordonnées du point.
Activité d'exploration utilisant un plan cartésien dynamique
- Repérez, sur le plan cartésien dynamique, les éléments qui le composent : l'axe horizontal gradué, l'axe vertical gradué, et l'origine.
- Déplacez successivement le point A à différents endroits et observez comment sont déterminés les deux nombres qui forment ses coordonnées. Seriez-vous capable de les déterminer en utilisant les axes du plan cartésien ?
Et si on passait à la pratique ?
Maintenant à vous de travailler afin de bien maîtriser la théorie. Vous êtes prêt pour la première série d'exercices
- Les coordonnées polaires utilisent un quadrillage formé de cercles de plus en plus grands centrés à l'origine. Il y a aussi un système d'axes horizontal et vertical qui se rencontrent à l'origine mais ceux-ci ne sont pas gradués. Ils servent plutôt à définir les orientations horizontale et verticale.
- Pour chaque point du plan, il existe un cercle centré à l'origine qui passe par ce point. Ses coordonnées polaires sont définies comme étant la mesure r du rayon de ce cercle et la mesure de l'angle α formé par le rayon et l'axe horizontal.
- Les coordonnées polaires d'un point sont aussi données sous forme de couple (r, α).
- Repérez, sur le plan polaire dynamique, les éléments qui le composent : l'origine, les cercles concentriques, l'axe horizontal et l'axe vertical.
- Déplacez le point A et observez comment sont déterminés les deux nombres qui forment ses coordonnées polaires.
Et si on passait à la pratique ?
Maintenant à vous de travailler afin de bien maîtriser la théorie. Vous êtes prêt pour la deuxième série d'exercices
Vous vous posez peut-être la question suivante : comment un point peut-il avoir à la fois des coordonnées cartésiennes et des coordonnées polaires ? Si vous retournez à l'animation précédente et que vous cochez tour à tour « polaires » et « cartésiennes » vous verrez que le point A a bien les deux types de coordonnées et que celles-ci sont calculées automatiquement quand vous changez de représentation. Tout dépend en fait de la situation et du type de quadrillage qu'il est plus facile d'utiliser.
Cette vidéo vous explique comment convertir des coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes (rectangulaires) et vice-versa.
Cette vidéo vous explique comment convertir des coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes (rectangulaires) et vice-versa.
Et si on passait à la pratique ?
Maintenant à vous de travailler afin de bien maîtriser la théorie. Vous êtes prêt pour la troisième série d'exercices. Demandez à votre enseignant.
Repères culturels
1. Les coordonnées rectangulaires (cartésiennes) ou angulaires (polaires) sont utiles pour se repérer sur une surface plane. Mais d'autres systèmes existent pour d'autres types de surfaces. Par exemple, les coordonnées géographiques (latitude et longitude) sont utilisées pour se repérer à la surface de la terre. En orientation, ce sont cartes et boussoles qui donnent accès aux coordonnées géographiques (les GPS modernes mélangent les deux). Très utile pour les bateaux, les avions et les voitures, ce quadrillage terrestre n'a pourtant pas toujours existé...3. Petit historique du méridien zéro
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Clin d'oeil
À vous la parole
Vous avez remarqué que même si le système de coordonnées géographiques est un peu différent des coordonnées cartésiennes ou des coordonnées polaires, le même concept de quadrillage s'applique ! Vous serez donc en mesure de trouver une réponse aux questions suivantes.
Coordonnées cartésiennes et polaires
Il y a deux systèmes de coordonnées mais lequel choisir ? Avant de les comparer, connaissez-vous les vecteurs ? Pour nos besoins, un vecteur est une flèche qui part de l'origine du repère et qui pointe vers un point du plan. Par définition, le point et son vecteur (la flèche qui part de l'origine vers le point) ont les mêmes coordonnées.
Pour faire notre comparaison, nous allons utiliser cette animation (auteur : Thomas Fleisch). Après avoir choisi un type de repère (en bas à droite, cliquez sur l'onglet « Coordonnées cartésiennes » ou « Coordonnées polaires »), faites varier les curseurs situés en haut à droite. Vous déplacerez ainsi l'extrémité du vecteur et observerez ses coordonnées varier.
Répondez ensuite à la question suivante : « Pouvez-vous imaginer une situation où ce serait plus facile d'utiliser des coordonnées polaires plutôt que des coordonnées cartésiennes ? ».
Coordonnées géographiques
- Placer un lieu sur un planisphère (après avoir cliqué sur le lien précédent, lisez la question numérotée 1 située en bas à gauche et cliquez sur la carte au bon endroit ; si vous réussissez, une nouvelle question s'affiche).
- Trouver les coordonnées d'un lieu.
- Les aventures de Tintin : mais où est-il ? (cette carte peut vous être utile)
- Le méridien de Paris et le méridien de Greenwich, sont-ils les mêmes ?
