MAT-4271

Les savoirs s'organisent pour être découverts et partagés.

MAT-4271


Objectifs d'apprentissage

Connaitre les concepts suivants:

  • Résolution d'équations et d'inéquations
  • Opérations sur les expressions algébriques
  • Factorisation et expressions rationnelles
  • Fonction polynomiale du second degré
  • Fonctions en escalier et partie entière
  • Droites
  • Résolution de systèmes d'équations à deux variables

THÉORIE

 Les opérations sur des expressions algébriques:




Division d'un polynôme par un binôme

  1. Écrire les termes en ordre décroissant d'exposant.
  2. Diviser le premier tes=mes de l'expression par le premier du binôme pour trouver le terme à multiplier.
  3. Multiplier tous les termes du binôme par ce nombre trouvé.
  4. Le résultat de la multiplication se place sous le polynôme afin d'effectuer la soustraction par la suite.
  5. Abaisser le dernier terme du polynôme et recommencer à l'étape 2.
  6. Écrire le résultat de façon adéquate s'il y a un reste. Le reste devrait être fractionnaire (reste/diviseur = binôme)

Exemple sans reste:
Exemple avec reste: Il faut suivre les mêmes étapes
Propriétés des exposants

Résolution d'équations
  • Additionner ou soustraire un même nombre des deux côtés de lÉquation pour éliminer le terme constant.
  • Multiplier ou diviser par un même nombre les deux côtés de l'équation pour éliminer le coefficient devant la variable à isoler.

Exemple:
Résolution d'inéquations
Il suffit d'appliquer les mêmes règles de transformations que les équations.
  • Additionner ou soustraire un même nombre des deux côtés de lÉquation pour éliminer le terme constant.
  • Multiplier ou diviser par un même nombre les deux côtés de l'équation pour éliminer le coefficient devant la variable à isoler.
Attention: Si le nombre à multiplier ou à diviser est négatif, il faut alors inverser le sens de cette inéquation.

Exemple:
Résolution d'inéquations du premier degré à deux variables en situation
  • Identifier les inconnues.
  • Écrire les inéquations
  • Trouver l'ensemble solution du problème en représentant graphiquement l'inéquation

Factorisation

Mise en évidence simple
  • Déterminer le plus grand facteur commun des termes (diviseur).
  • Diviser chacun des termes par ce facteur commun.
  • Écrire l'expression algébrique sous la forme d'un produit de facteurs.


Exemple:

Double mise en évidence
  • Regrouper par deux les termes ayant des facteurs communs.
  • Mettre en évidence le facteur (monôme) commun pour chaque groupe de deux termes.
  • Mettre en évidence le facteur (binôme) commun cette fois.


Exemple:
Trinôme carré parfait
Différence de carré
Complétion de carré

Il faut créer un trinôme parfait

Trinôme

On utilise la méthode du produit et de la somme.
  • Il faut trouver deux nombres dont le produit est (a x c) et de la somme est (b).
  • Écrire le polynôme en remplaçant le terme (b) du milieu par les deux nombres trouvés.
  • Faire une double mise en évidence par la suite.

Exemple:


Formule quadratique ou la racine
Simplification d'expressions rationnelles

Multiplication d'expressions rationnelles
  • Factoriser
  • Simplifier
  • Regrouper en une seule fraction
  • Donner l'expression réduite en reportant les restrictions.


Exemple:
Division d'expressions rationnelles
  • Inverser le diviseur
  • Factoriser
  • Simplifier
  • Regrouper en une seule fraction
  • Donner l'expression réduite en reportant les restrictions


Exemple:
Addition ou soustraction d'expressions rationnelles
  • Factoriser
  • Simplifier (s'il y a lieu)
  • Trouver le dénominateur commun
  • Trouver les fractions équivalentes
  • Regrouper les termes semblables (numérateurs)
  • Factoriser (s'il y a lieu)
  • Simplifier (s"il y a lieu)
  • Donner l'expression réduite en reportant les restrictions.


Exemple:


Chaines d'opérations d'expressions rationnelles

Voici les priorités des opérations
  1. Parenthèses
  2. Multiplication et divisions
  3. Additions et soustractions
Une relation
Une relation est un lien entre deux variables, la variable dépendante et la variable indépendante. Le relation est traduite par une règle. Il existe plusieurs façons de représenter une relation.

  • Table des valeurs
  • Graphique
  • Règle

Exemple: y = 2x - 1

La variable dépendante (y) est la variable qui varie sous l'influence de l'autre variable (x).
La variable indépendante (x) est la variable qui varie sans l'influence d'une autre variable (y).


Une fonction:
Une fonction est une relation dont chaque valeur de x correspond uniquement une valeur de y.

Exemple:


Notation fonctionnelle:

La réciproque d'une fonction

La réciproque d'une fonction est la fonction inverse de cette dernière. Elle s'obtient en inter changeant la variable x et y.

Définition sur les caractéristiques d'une fonction:

  • Domaine (x): Ensemble formé des éléments de l'ensemble de départ qui satisfont la relation (variable indépendante)
  • Codomaine ou image )y): Ensemble formé des éléments de l'ensemble d'arrivée qui satisfont la relation (variable dépendante)
  • Croissance: 
  1. Une fonction est croissante lorsqu'elle monte de gauche à droite dans un graphique 
  2. Lorsque le coefficient de la variable x est positif
  3. Lorsque les deux variables de la tables des valeurs varient dans le même sens (positive ou négative) 
  • Décroissance: 
  1. Une fonction est décroissante lorsqu'elle descend de gauche à droite dans un graphique
  2. Lorsque le coefficient de la variable x est négatif
  3. Lorsque les deux valeurs de la table des valeurs varient dans le sens contraire, une positive et l'autre négative.
  • Constante: une fonction constante est une fonction de la forme y = k (droite horizontale)
  • Maximum: la plus grande valeur de la variable y ou dépendante.
  • Minimum: la plus petite valeur de la variable y ou dépendante.
  • Fonction positive: La fonction est positive lorsque les valeurs de la variable y (dépendante) sont positives.
  • Fonction négative: La fonction est négative lorsque les valeurs de la variable y (dépendante) sont négatives.
  • Coordonnées à l'origine ou zéro: Les valeurs de la variable x quand y vaut 0.
  • Valuer initiale ou ordonnée à l'origine: La valeur de la variable y quand x vaut 0.

Fonction polynomiale de degré 0

y = b  ou f(x) = b  ou b est une constante (droite horizontale, y = 0x + b)


Propriétés d'une fonction polynomiale de degré 0

  • Domaine: L'ensemble de toutes les valeurs de x pour lequel la fonction existe (R)
  • Codomaine: L'ensemble de toutes les valeurs de y pour lequel x est définit (b)
  • Signe: 
  1. Si b > 0 donc positif, la fonction est positive
  2. Si b < 0 donc négatif, la fonction est négative
  • Valeur initiale: b
  • Zéros:  
  1. Si b est différent de 0, aucun zéro
  2. Si b = 0, alors toutes les valeurs de la droite (R)

Fonction polynomiale de degré 1 (fonction linéaire ou fonction affine)

y = ax + b  ou f(x) = ax + b  ou a est différent de 0 (droite oblique)

a: taux de variation ou la pente
b: valeur initiale ou ordonnée à l'origine

Propriétés d'une fonction polynomiale de degré 1



  • Domaine: R
  • Codomaine: R
  • Valeur initiale: b
  • Zéros: x = -b/a
  • Variation:

Trouver la règle d'une relation

  • A partir de deux points
  • À partir d'un point et de la pente

Toutes les formes de l'équation d'une droite

Exemples de changement d'une forme à l'autre




Fonction polynomiale du second degré ou fonction quadratique




Les différentes formes de la fonction polynomiale du second degré


Transformations d'une forme à une autre


Recherche de la règle d'une fonction quadratique


Résolution d'équations du second degré à une variable



Résolution d'inéquation du second degré à une variable

Il suffit d'appliquer les mêmes règles que les équations en trouvant les zéros de la fonction quadratique. Ensuite, il faut trouver l'intervalle selon le signe de la fonction.

Exemple:

Fonction en escalier (partie entière)





Rôle du paramètre h et k:

Les paramètres h et k sont les coordonnées d'un point plein du graphique.

  • Le paramètre h correspond à une translation horizontale
  • Le paramètre k correspond à une translation verticale.

Caractéristiques



Domaine (x)
L'ensemble formé des éléments de l'ensemble de départ qui satisfont la relation (variable indépendante). Le domaine est R.

Codomaine ou image (y)
L'ensemble formé des éléments de l'ensemble d'arrivée qui satisfont la relation (variable dépendante). Les valeurs de y sont limitées à certaines valeurs.


Systèmes d'équations du premier degré à deux variables.
  • Résoudre à l'aide de la table des valeurs
  1. Trouver le point commun
  • Résoudre graphiquement
  1. Isoler la variable y de la première équation
  2. Remplir la table des valeurs associée
  3. Placer les points sur le graphique
  4. Relier les points
  5. Refaire les mêmes étapes pour la deuxième équation
  6. Le point d'intersection des deux droites est la solution du système
  7. Écrire la solution sous forme de couple (x, y)


  •  Résoudre graphiquement - deuxième méthode


  1. Isoler le y de la première équation
  2. Placer l'ordonnée à l'origine sur le graphique
  3. Fair el déplacement de l pente sur le graphique
  4. Relier les deux points
  5. Refaire les mêmes étapes pour la deuxième équation sur le même graphique
  6. Le point d'intersection est la solution du système.



    Remarque

    • Dans un graphique si les deux droites sont parallèles, il y a aucune solution.
    • Dans un graphique si les droites sont confondues, il y a une infinité de solutions.


    Droites parallèles

    Deux droites sont parallèles si elles ont la même pente a1 = a2

    • Si elles ont la même ordonnée à l'origine (b) alors elles sont confondues.
    • Si elle n'ont pas la même ordonnée à l'origine alors elles sont distinctes.

    Droites perpendiculaires

    Deux droites sont perpendiculaires si elles ont des pentes inversées et opposées. Le produit de leur pente est -1.

    Méthode de comparaison

    1. Isoler la même variable dans les 2 équations
    2. Afin de comparer les équations, il faut mettre les 2 équations égales.
    3. Résoudre la nouvelle équation
    4. Trouver la valeur de la 2e coordonnée en remplaçant la première valeur trouvée dans une des équations.
    5. Écrire la solution sous forme de couple (x, y).

    Méthode de substitution

    1. Isoler une variable dans une des équations.
    2. Substituer cette variable dans la 2e équations.
    3. Résoudre la nouvelle équation.
    4. Trouver la valeur de la 2e coordonnées en remplaçant la première valeur trouvée dans une des équations.
    5. Écrire la solution sous forme de couple (x, y).

    Méthode d'élimination par addition ou de réduction

    1. Écrire les équations sous la même forme Ax + By = C
    2. Éliminer une des variables en multipliant chacune des équations par un facteur afin d'obtenir le même résultat.
    3. Additionner ou soustraire les 2 équations.
    4. Résoudre l'équation
    5. Trouver la valeur de la 2e coordonnées en remplaçant la valeur de la première dans une des équations.
    6. Écrire la solution sous forme de couple (x, y).

    Système d'équations composé d'une équation d'un premier degré et une autre des 2e degré

    1. Isoler la même variable dans les 2 équations.
    2. Afin de comparer les équations, il faut mettre les 2 équations égales.
    3. Écrire l'équation
    4. Résoudre l'équation su second degré à l'aide de la formule quadratique ou par factorisation.
    5. Trouver les valeurs des deuxièmes coordonnées en remplaçant les valeurs des premières coordonnés trouvées dans l'équation du premier degré (plus simple).
    6. Écrire les couples-solutions sous forme de couple (x, y).


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