Objectifs d'apprentissage
Connaitre les concepts suivants:
- Les contraintes et les systèmes d'inéquations
- La programmation linéaire
THÉORIE
Représentation graphique d'une relation représentée par une droite
- x = k droite verticale
- y = k droite horizontale
- y = ax + b droite oblique
Représenter graphiquement à l'aide de la table des valeurs
Représenter graphiquement à l'aide du déplacement avec l'ordonnée à l'origine et la pente.
Représentation graphique d'un système d'équations du premier degré à deux variables.
- Résoudre à l'aide de la table des valeurs
- Trouver le point commun
- Résoudre graphiquement
- Isoler le y de la première équation
- Placer l'ordonnée à l'origine sur le graphique
- Faire le déplacement de la pente sur le graphique
- Relier les deux points
- Refaire les mêmes étapes pour la deuxième équation sur le même graphique
- Le point d'intersection est la solution du système.
Résolution d'un système d'équations du premier degré
Méthode de comparaison
- Isoler la même variable dans les 2 équations
- Afin de comparer les équations, il faut mettre les 2 équations égales.
- Résoudre la nouvelle équation.
- Trouver la valeur de la 2e coordonnée en remplaçant la valeur trouvée dans une des deux équations.
- Écrire la solution sous forme de couple (x, y)
Nombre de solutions d'un système d'équations
- Droites parallèles distinctes, aucune solution
Si les pentes sont égales et les ordonnées sont différents alors il y a aucune solution
- Droites sécantes, une solution unique
Si les pentes sont différentes alors il existe une solution unique.
- Droites parallèles confondues, une infinité de solutions
Si les pentes sont égales et les ordonnées sont aussi égales alors il y a une infinité de solutions.
Méthode de substitution
- Isoler une variable dans une des équations.
- Substituer cette variable dans la 2e équations.
- Résoudre la nouvelle équation.
- Trouver la valeur de la 2e coordonnées en remplaçant la première valeur trouvée dans une des équations.
- Écrire la solution sous forme de couple (x, y).
- Écrire les équations sous la même forme Ax + By = C
- Éliminer une des variables en multipliant chacune des équations par un facteur afin d'obtenir le même résultat.
- Additionner ou soustraire les 2 équations.
- Résoudre l'équation
- Trouver la valeur de la 2e coordonnées en remplaçant la valeur de la première dans une des équations.
- Écrire la solution sous forme de couple (x, y).
- Trouver les coordonnées de trois points de la même façons que pour les équations ou isoler la variable et tracer la droite avec l'ordonnée à l'origine et la pente.
- Tracer la droite soit une ligne pleine ou une ligne pointillée.
- Hachurée la partie appropriée.
- Refaire les mêmes étapes pour la deuxième équation.
- La région solution est la partie ou les deux régions sont hachurées (la région commune aux deux).
Optimisation
- Optimiser: Donner le rendement optimal en créant les conditions les plus favorables.
- Optimal: L'état le plus favorable
- Fonction à optimiser: Z = ax + by + c
Exemple:
Le comité étudiant prend les commandes pour l'album de finissants. L'album peut contenir un maximum de 50 pages dont un maximum de 10 pages textes et un minimum de 20 pages de photos. Le coût est de 0,75 $ pour les pages de textes et 2,50 $ pour les pages de photos. Quel est le coût minimum d'un album ?
Exemple:
Z = 0,75x + 2,5y
- Maximise: Valeurs maximales
- Minimise: Valeurs minimales
- Contrainte: Une condition, une limite. Les contraintes peuvent être représentées sous forme algébrique ou graphique.
Exemple:
Le comité étudiant prend les commandes pour l'album de finissants. L'album peut contenir un maximum de 50 pages dont un maximum de 10 pages textes et un minimum de 20 pages de photos. Le coût est de 0,75 $ pour les pages de textes et 2,50 $ pour les pages de photos. Quel est le coût minimum d'un album ?
- Polygone de contraintes: La région du plan cartésien que l'on trouve lors de la représentation graphique des contraintes (la région solution de toutes les inéquations).
Exemple:
- Coordonnées des sommets: Point d'intersection de deux équations
Exemple: Les sommets du polygone ci-dessus sont les points A, B, C et D.
- Appartenance ou non d'un point au polygone de contraintes: Il faut simplement valider le point avec toutes les contraintes (les inéquations).
Exemple:
Vérifier si le point (30, 10) fait partie du polygone de contraintes.
Étapes pour résoudre un problème d'optimisation
- Identifier les variables x et y.
- Identifier la fonction à optimiser Z.
- Identifier les contraintes sous forme d'inéquations.
- Tracer chacune des droites
- Hachurer la partie appropriée pour chacune des droites.
- Tracer le polygone de contraintes, graphiquement.
- Trouver les sommets
- Trouver la solution, maximum ou minimum
- Vérifier la solution
Exemple:
Le comité étudiant prend les commandes pour l'album de finissants. L'album peut contenir un maximum de 50 pages dont un maximum de 10 pages textes et un minimum de 20 pages de photos. Le coût est de 0,75 $ pour les pages de textes et 2,50 $ pour les pages de photos. Quel est le coût minimum d'un album ?
Ajout d'une contrainte
- Identifier la nouvelle contrainte.
- Tracer la droite dans le graphique.
- Hachurer la partie appropriée.
- Trouver les nouveaux sommets du polygone.
- Calculer la fonction à optimiser afin de trouver la nouvelle solution.
Exemple: Le nombre de pages photos ne doit pas dépasser le triple du nombre de pages texte augmenté de 20.
Le nouveau sommet C
Le nouveau calcul de la fonction à optimiser est
La nouvelle contrainte ne change rien au coût maximum de l'album.
La méthode de la droite baladeuse n'est pas dans le programme mais on peut l'utiliser pour trouver le dernier sommet.