MAT-3051


Objectifs d'apprentissage

Connaître les concepts suivants:

  • Relation, fonction et réciproque
  • Fonction polynomiale de degré 0
  • Fonction polynomiale du premier degré
  • Fonction rationnelle
  • Fonction définie par parties et modélisation
  • Systèmes d'équations du premier degré à deux variables
  • Résolution d'inéquations du premier degré à une variable

THÉORIE

Définitions

  • Coefficient: Le chiffre en avant la ou les variable(s)    
  • Exposant: Le chiffre en haut de la ou les variable (s)
  • Variable:La ou les lettre (s) dans une expression
  • Monôme: un terme
  1. Un coefficient et une variable: 3p
  2. Un coefficient sans variable: 5
  3. Une variable: w
  4. Un coefficient, une ou plusieurs variables: 
  • Binôme: deux termes
  1. C'est la somme ou la différence de 2 monômes non semblables: 
  • Trinôme: trois termes
  1. C'est la somme ou la différence de 3 monômes non semblables: 
  • Polynôme: plusieurs termes

  • Termes semblables: termes ayant la ou les même(s) variable(s) avec les mêmes exposants

Les opérations sur des expressions algébriques:






Relation

Une relation est un lien entre deux variables, la variable dépendante et la variable indépendante. La relation est traduite par une règle (y = ax + b). Il existe plusieurs façons de représenter une relation:

  1. table des valeurs
  2. graphique
  3. règle
  4. description verbale (sous forme de texte)
Exemple de règle: 


La variable dépendante (y) est la variable qui varie sous l'influence de l'autre variable (x).
La variable indépendante (x) est la variable qui varie sans l'influence d'un autre variable (y).

Représentation graphique dune relation représentée par une droite
  • x = k   droite verticale
  • y = k   droite horizontale
  • y = ax + b   droite oblique

Représenter graphiquement à l'aide de la table des valeurs


Représenter graphiquement à l'aide du déplacement avec l'ordonnée à l'origine et la pente.


Trouver la règle d'une relation (y = ax + b)
  • À partir d'une table des valeurs
  • D'un graphique: deux points ou un point et la pente

Exemple:



Une fonction:
Une fonction est une relation dont chaque valeur de x correspond uniquement une valeur de y.

Exemple:


Notation fonctionnelle:



Définition sur les caractéristiques d'une fonction:

  • Domaine (x): Ensemble formé des éléments de l'ensemble de départ qui satisfont la relation (variable indépendante)
  • Codomaine ou image )y): Ensemble formé des éléments de l'ensemble d'arrivée qui satisfont la relation (variable dépendante)
  • Croissance: 
  1. Une fonction est croissante lorsqu'elle monte de gauche à droite dans un graphique 
  2. Lorsque le coefficient de la variable x est positif
  3. Lorsque les deux variables de la tables des valeurs varient dans le même sens (positive ou négative) 
  • Décroissance: 
  1. Une fonction est décroissante lorsqu'elle descend de gauche à droite dans un graphique
  2. Lorsque le coefficient de la variable x est négatif
  3. Lorsque les deux valeurs de la table des valeurs varient dans le sens contraire, une positive et l'autre négative.
  • Constante: une fonction constante est une fonction de la forme y = k (droite horizontale)
  • Maximum: la plus grande valeur de la variable y ou dépendante.
  • Minimum: la plus petite valeur de la variable y ou dépendante.
  • Fonction positive: La fonction est positive lorsque les valeurs de la variable y (dépendante) sont positives.
  • Fonction négative: La fonction est négative lorsque les valeurs de la variable y (dépendante) sont négatives.
  • Coordonnées à l'origine ou zéro: Les valeurs de la variable x quand y vaut 0.
  • Valeur initiale ou ordonnée à l'origine: La valeur de la variable y quand x vaut 0.

Fonction polynomiale de degré 0

y = b  ou f(x) = b  ou b est une constante (droite horizontale, y = 0x + b)


Propriétés d'une fonction polynomiale de degré 0

  • Domaine: L'ensemble de toutes les valeurs de x pour lequel la fonction existe (R)
  • Codomaine: L'ensemble de toutes les valeurs de y pour lequel x est définit (b)
  • Signe: 
  1. Si b > 0 donc positif, la fonction est positive
  2. Si b < 0 donc négatif, la fonction est négative
  • Valeur initiale: b
  • Zéros:  
  1. Si b est différent de 0, aucun zéro
  2. Si b = 0, alors toutes les valeurs de la droite (R)

Fonction polynomiale de degré 1 (fonction linéaire ou fonction affine)

y = ax + b  ou f(x) = ax + b  ou a est différent de 0 (droite oblique)

a: taux de variation ou la pente
b: valeur initiale ou ordonnée à l'origine

Propriétés d'une fonction polynomiale de degré 1

  • Domaine: R
  • Codomaine: R
  • Valeur initiale: b
  • Zéros: x = -b/a
  • Variation:



La réciproque d'une fonction: 
La réciproque d'une fonction est la fonction inverse de cette dernière. Elle s'obtient en inter changeant la variable x et y.



Fonction définie par parties

Une fonction qui est composé de plusieurs fonctions

Fonction rationnelle ou fonction variation inverse

Une fonction dont le produit des deux variables est une valeur constante k et non nul.

Caractéristiques d'une fonction rationnelle

  • asymptotes: x = 0 et y = 0
  • Domaine: R*
  • Codomaine: R*
  • Valeur initiale: aucune
  • Zéros: aucun

Trouver la règle d'une fonction rationnelle

Pour déterminer la valeur du k, il suffit de faire le produit de chaque couple de la fonction afin de trouver la constante k.


Modélisation d'Une situation à l'aide d'une fonction polynomiale de degré 0 ou de degré 1 qui ne suit pas toujours une régularité (droite)

  1. Tracer le nuage de points associés
  2. Tracer une droite qui est représentative de la majorité des points.
  3. Établissez la règle à l'aide de deux points en calculant la pente en premier lieu.
  4. Ensuite trouver la règle à l'aide de la pente et un point.


Modélisation d'une situation à l'aide d'une fonction rationnelle (une courbe).

  1. Tracer une courbe représentative de l'ensemble des points.
  2. Chercher la régularité en faisant le produit des valeurs dans la table des valeurs.
  3. Établissez la règle en calculant la moyenne des produits des valeurs de chacun des couples.


Systèmes d'équations du premier degré à deux variables.
  • Résoudre à l'aide de la table des valeurs
  1. Trouver le point commun
  • Résoudre graphiquement
  1. Isoler la variable y de la première équation
  2. Remplir la table des valeurs associée
  3. Placer les points sur le graphique
  4. Relier les points
  5. Refaire les mêmes étapes pour la deuxième équation
  6. Le point d'intersection des deux droites est la solution du système
  7. Écrire la solution sous forme de couple (x, y)


  •  Résoudre graphiquement - deuxième méthode
  1. Isoler le y de la première équation
  2. Placer l'ordonnée à l'origine sur le graphique
  3. Faire le déplacement de la pente sur le graphique
  4. Relier les deux points
  5. Refaire les mêmes étapes pour la deuxième équation sur le même graphique
  6. Le point d'intersection est la solution du système.


  • Résoudre algébriquement - Méthode de comparaison 
  1. Isoler la même variable dans les 2 équations
  2. Afin de comparer les équations, il faut mettre les 2 équations égales.
  3. Résoudre la nouvelle équation.
  4. Trouver la valeur de la 2e coordonnée en remplaçant la valeur trouvée dans une des deux équations.
  5. Écrire la solution sous forme de couple (x, y)

Nombre de solutions d'un système d'équations

  1. Droites parallèles distinctes, aucune solution
Si les pentes sont égales et les ordonnées sont différents alors il y a aucune solution 

  1. Droites sécantes, une solution unique
Si les pentes sont différentes alors il existe une solution unique.

  1. Droites parallèles confondues, une infinité de solutions
Si les pentes sont égales et les ordonnées sont aussi égales alors il y a une infinité de solutions.

 Résolution d'équations: 

  1. Additionner ou soustraire un même nombre les deux côtés de l'équation pour éliminer le terme constant.
  2. Multiplier ou diviser par un même nombre les deux côtés de l'équation pour éliminer le coefficient devant la variable à isoler.



Résolution d'une inéquation: Il suffit d'appliquer les mêmes règles de transformations que pour les équations.

  1. Additionner ou soustraire un même nombre les deux côtés de l'équation pour éliminer le terme constant.
  2. Multiplier ou diviser par un même nombre les deux côtés de l'équation pour éliminer le coefficient devant la variable à isoler.

Résolution de problèmes contenant des inéquations

  1. Identifiez les inconnues avec seulement une variable et représentez-les par des expressions algébriques.
  2. Formez et résolvez chacune des inéquations obtenues .
  3. Trouvez l'ensemble solution du problème.
  4. L'ensemble solution peut être exprimé de plusieurs façons:
  • Sur une droite numérique
  • par un intervalle
  • sous forme d'une inéquation dont la variable est isolée
Exemple:

La base d'un rectangle mesure 4 de plus que le double de sa hauteur. Son périmètre est supérieur à 32 cm mais ne dépasse pas 50 cm. Quelles sont les mesures possibles de sa hauteur ?

hauteur:  h
base: 2h + 4

périmètre: 

2h + 2 (2h + 4) > 32         et         2h + 2 (2h + 4) ? 50
2 h + 4h + 8  > 32                       2 h + 4h + 8   ? 50
6h + 8 > 32                                 6h + 8  ? 50
6h  >  24                                      6h ? 42
h > 4                                            h ? 7

Donc la hauteur doit être supérieur à 4 cm mais ne doit pas dépasser 7 cm.
h > 4          








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