Objectifs d'apprentissage
Connaitre les concepts suivants:
- Les contraintes et les systèmes d'inéquations
- La programmation linéaire
- La loi des cosinus et les figures équivalentes
- La théorie des graphes
THÉORIE
Représentation graphique d'une relation représentée par une droite
- x = k droite verticale
- y = k droite horizontale
- y = ax + b droite oblique
Représenter graphiquement à l'aide de la table des valeurs
Représenter graphiquement à l'aide du déplacement avec l'ordonnée à l'origine et la pente.
Représentation graphique d'un système d'équations du premier degré à deux variables.
- Résoudre à l'aide de la table des valeurs
- Trouver le point commun
- Résoudre graphiquement
- Isoler le y de la première équation
- Placer l'ordonnée à l'origine sur le graphique
- Faire le déplacement de la pente sur le graphique
- Relier les deux points
- Refaire les mêmes étapes pour la deuxième équation sur le même graphique
- Le point d'intersection est la solution du système.
Résolution d'un système d'équations du premier degré
Méthode de comparaison
- Isoler la même variable dans les 2 équations
- Afin de comparer les équations, il faut mettre les 2 équations égales.
- Résoudre la nouvelle équation.
- Trouver la valeur de la 2e coordonnée en remplaçant la valeur trouvée dans une des deux équations.
- Écrire la solution sous forme de couple (x, y)
Nombre de solutions d'un système d'équations
- Droites parallèles distinctes, aucune solution
Si les pentes sont égales et les ordonnées sont différents alors il y a aucune solution
- Droites sécantes, une solution unique
Si les pentes sont différentes alors il existe une solution unique.
- Droites parallèles confondues, une infinité de solutions
Si les pentes sont égales et les ordonnées sont aussi égales alors il y a une infinité de solutions.
Méthode de substitution
- Isoler une variable dans une des équations.
- Substituer cette variable dans la 2e équations.
- Résoudre la nouvelle équation.
- Trouver la valeur de la 2e coordonnées en remplaçant la première valeur trouvée dans une des équations.
- Écrire la solution sous forme de couple (x, y).
- Écrire les équations sous la même forme Ax + By = C
- Éliminer une des variables en multipliant chacune des équations par un facteur afin d'obtenir le même résultat.
- Additionner ou soustraire les 2 équations.
- Résoudre l'équation
- Trouver la valeur de la 2e coordonnées en remplaçant la valeur de la première dans une des équations.
- Écrire la solution sous forme de couple (x, y).
- Trouver les coordonnées de trois points de la même façons que pour les équations ou isoler la variable et tracer la droite avec l'ordonnée à l'origine et la pente.
- Tracer la droite soit une ligne pleine ou une ligne pointillée.
- Hachurée la partie appropriée.
- Refaire les mêmes étapes pour la deuxième équation.
- La région solution est la partie ou les deux régions sont hachurées (la région commune aux deux).
Optimisation
- Optimiser: Donner le rendement optimal en créant les conditions les plus favorables.
- Optimal: L'état le plus favorable
- Fonction à optimiser: Z = ax + by + c
Exemple:
Le comité étudiant prend les commandes pour l'album de finissants. L'album peut contenir un maximum de 50 pages dont un maximum de 10 pages textes et un minimum de 20 pages de photos. Le coût est de 0,75 $ pour les pages de textes et 2,50 $ pour les pages de photos. Quel est le coût minimum d'un album ?
Exemple:
Z = 0,75x + 2,5y
- Maximise: Valeurs maximales
- Minimise: Valeurs minimales
- Contrainte: Une condition, une limite. Les contraintes peuvent être représentées sous forme algébrique ou graphique.
Exemple:
Le comité étudiant prend les commandes pour l'album de finissants. L'album peut contenir un maximum de 50 pages dont un maximum de 10 pages textes et un minimum de 20 pages de photos. Le coût est de 0,75 $ pour les pages de textes et 2,50 $ pour les pages de photos. Quel est le coût minimum d'un album ?
- Polygone de contraintes: La région du plan cartésien que l'on trouve lors de la représentation graphique des contraintes (la région solution de toutes les inéquations).
Exemple:
- Coordonnées des sommets: Point d'intersection de deux équations
Exemple: Les sommets du polygone ci-dessus sont les points A, B, C et D.
- Appartenance ou non d'un point au polygone de contraintes: Il faut simplement valider le point avec toutes les contraintes (les inéquations).
Exemple:
Vérifier si le point (30, 10) fait partie du polygone de contraintes.
Étapes pour résoudre un problème d'optimisation
- Identifier les variables x et y.
- Identifier la fonction à optimiser Z.
- Identifier les contraintes sous forme d'inéquations.
- Tracer chacune des droites
- Hachurer la partie appropriée pour chacune des droites.
- Tracer le polygone de contraintes, graphiquement.
- Trouver les sommets
- Trouver la solution, maximum ou minimum
- Vérifier la solution
Exemple:
Le comité étudiant prend les commandes pour l'album de finissants. L'album peut contenir un maximum de 50 pages dont un maximum de 10 pages textes et un minimum de 20 pages de photos. Le coût est de 0,75 $ pour les pages de textes et 2,50 $ pour les pages de photos. Quel est le coût minimum d'un album ?
Ajout d'une contrainte
- Identifier la nouvelle contrainte.
- Tracer la droite dans le graphique.
- Hachurer la partie appropriée.
- Trouver les nouveaux sommets du polygone.
- Calculer la fonction à optimiser afin de trouver la nouvelle solution.
Exemple: Le nombre de pages photos ne doit pas dépasser le triple du nombre de pages texte augmenté de 20.
Le nouveau sommet C
Le nouveau calcul de la fonction à optimiser est
La nouvelle contrainte ne change rien au coût maximum de l'album.
La méthode de la droite baladeuse n'et pas dans le programme mais on peut l'utiliser pour trouver le dernier sommet.
Optimisation à l'aide de la théorie des graphes
- Graphe: Ensemble de points (nommés sommets), dont certains points sont reliés par une ligne orientée (flèche) ou non (arête).
- Graphe simple: graphe dans lequel il y a seulement des sommets et des arêtes.
- Sommet: points d'un graphe (le sommet 6).
- Arêtes: Lignes reliant deux sommets d'un graphe (le trait entre le sommet 6 et le sommet
- Boucles: Arête qui part et revient au même sommet sans passer par aucun autre sommet.
- Degré d'un sommet: Nombre d'arêtes qui touchent le sommet. Une boucle est comptée deux fois.
- Chaine: Suite d'arêtes consécutives.
Exemple: 6 - 4 - 5
- Chaine simple: Chaine qui n'utilise pas 2 fois le même arête.
Exemple: 6 - 4 - 5 - 1 - 2 - 3
- Valeur d'une chaine: Somme des valeur de chacune des arêtes.
Exemple:
B - A - C - E - D
5 + 7 + 3 + 17 = 32
- Chaine optimale: Chaine ayant la plus petite valeur.
Exemple: On cherche le chemin le plus court qui relie le sommet E au sommet B.
- Chaine eulérienne: Chaine simple qui passe par toutes les arêtes une et une seule fois. (Truc: Il débute par un sommet de degré impair, se termine par un sommet de degré impair. - il possède donc seulement deux sommets de degré impair.)
Exemple: 5 - 4 - 3 - 2 - 5 - 1 - 2
- Chaine hamiltonienne: Chaine simple passant par tous les sommets d'un graphe connexe une et une seule fois.
Exemple: 1 - 2 - 3 - 4 - 8 - 7 - 6 - 5
- Cycle: Chaine qui débute et se termine au même sommet.
- Cycle simple: Cycle qui N'utilise qu'une seule fois la même arête.
Exemple: B - C - E - F - D - B
- Cycle eulérien: Cycle simple qui passe par toutes les arêtes et qui revient à son point de départ.(Truc: tous les sommets sont de degrés pairs).
Exemple: Départ et arrivée au sommet 1 (a - b - f - g - h - d - e - c)
- Cycle Hamiltonian: Cycle simple passant par tous les sommets d'un graphe connexe une et une seule fois et qui revient à son point de départ.
Exemple: 2 - 3 - 4 - 1 - 5 - 8 - 7 - 6 - 2
- Graphe complet: Graphe dans lequel toutes les arêtes possibles sont représentées.
Exemple:
- Graphe connexe: Graphe dans lequel on peut relier n'importe quel sommet à n'importe lequel autre sommet du graphe.
Exemple:
- Ordre d'un graphe: Nombre de sommets que comporte un graphe.
Exemple: Ordre du graphe est de 6.
- Arbre: graphe connexe ne comportant aucun cycle simple et sans boucle.
Exemple:
- Arbre optimal: Arbre dont la somme des valeurs des arêtes est la plus petite ou la plus grande.
Exemple:
- Arbre généalogique
- Aménager des fils, des conduits pour plusieurs bâtiments afin de minimiser les coûts
- Constellation
- Déplacement des représentants
- Câblodistribution dans un quartier, ligne téléphonique,...
- tableau de certains sports
- Relier des îles
- Beaucoup d'autres
- Graphe valué ou pondéré: Graphe dans lequel une valeur numérique est assignée à chacune des arêtes.
Exemple:
Voici es exemples de situations d'apprentissage pour les graphes évalués:
- Distance (avion, auto,..)
- Heure de déplacements entre les endroits.
- Coût des travaux
- Beaucoup d'autres
- Graphe orienté: Graphe dans lequel un sens (flèche) est attribué à chacune des arêtes.
Exemple:
- Arc: Segment (flèche) qui relie deux sommets d'un graphe orienté.
- Chemin: Suite de sommets reliés par des arcs dans un graphe orienté.
Exemple: 1 - 3 - 2
- Circuit: Chemin qui revient à son point de départ dans un graphe orienté
Exemple: 1 - 3 - 4 - 3 - 2 - 1
Voici des exemples de situations d'apprentissage pour les graphes orientés ou valués et orientés.
Les situations visées sont celles qui ont des contraintes de trajets , de directions.
- Organigrammes (scolaire, entreprise,..)
- Trajet avec sens unique des rues
- Circuit électrique
- Chaine alimentaire
- Trajet d'avion, autobus, train,..
- Distance: Lad distance entre deux sommets est la valeur de l'arc entre les deux sommets.
Exemple: La plus courte distance entre A et C est ABC = 30
- Valeur d'un chemin: Somme des valeur des arcs qui constituent ce chemin ou ce circuit.
Exemple:
- Chemin critique: Chemin ayant la plus grande valeur entre le début et la fin du projet dans un graphe valué et orienté.
Exemple:
Le chemin critique est donc 31
Voici des exemples de situations d'apprentissage
Les situations visées sont celles qui représentent un projet avec des tâches ou des opérations. La durée de chaque tâche ou opération doivent s'enchainer entre elles dans le temps.
- Organisation d'un événement (sorite scolaire, mariage, activité de financement,...)
- Préparation d'un repas
- Travail de recherche
- Préparation à un examen
- L'achat ou la vente d'une maison, d'une auto,..
- Préparation d'un voyage,...
- Coloriage dUn graphe: Le coloriage d'un graphe consiste à donner une couleur différente à deux sommets consécutifs c'est-à-dire relié par une arête. Un nombre minimal de couleurs doit être utilisé (nombre chromatique)
Exemple:
Le nombre chromatique(nombre de couleurs) d'un graphe est inférieur ou égal à r + 1, ou r est le plus grand degré de ses sommets.
Voici des exemples de situations d'apprentissage:
Les situations visées sont celles qui ont une incompatibilité entre certains éléments. L'incomptabilité sera représentée par une arête.
- Horaire
- Regroupement de personnes
- Placement de personnes en équipes ou à une table
Relation de Pythagore
La somme des angles intérieurs d'un triangle égale toujours 180 degrés. Un triangle isocèle à 2 côtés congrus et aussi 2 angles congrus.
Proportion
Une égalité entre 2 rapports ou le produit des extrêmes est égale au produit des moyens.
Exemple:
Figures et solides semblables
Rapport de similitude (figures semblables)
- Rapport compris entre 0 et 1, il y a une réduction.
- Rapport égal à un, il y a une reproduction exacte.
- Rapport plus grand que 1, il y a un agrandissement.
Exemple:
Solides semblables
- Un agrandissement ou une réduction ou la reproduction exacte d'un solide.
- Les angles homologues sont congrus.
- Les côtés homologues sont proportionnels.
Exemple: les solides sont des cubes
Rapport des aires
- Rapport compris entre 0 et 1, il y a une réduction.
- Rapport égal à un, il y a une reproduction exacte.
- Rapport plus grand que 1, il y a un agrandissement.
Exemple:
Exemple: les solides sont des cubes
Rapport des volumes
- Rapport compris entre 0 et 1, il y a une réduction.
- Rapport égal à un, il y a une reproduction exacte.
- Rapport plus grand que 1, il y a un agrandissement.
Exemple: les solides sont des cubes
Trigonométrie
Loi des sinus: On laisse tomber le rapport qui ne nous concerne pas.
La loi ses sinus s'utilise dans toutes les sortes de triangle. On peut l'utiliser lorsqu'on connait un angle et son côté opposé et une autre mesure (d'angle ou de côté peu importe).
Loi des cosinus
La loi des cosinus s'applique dans seulement 2 situations:
Exemples:
La loi des cosinus s'applique dans seulement 2 situations:
- Si on connait les mesures des trois angles;
- Si on connait la mesure de 2 côtés et celle de l'angle entre ces deux côtés.
Exemples:
Aire d'un triangle quelconque
Exemple:
Énoncés
- E.13 Un graphe connexe admet une chaine eulérienne si et seulement si le nombre de sommets de degré impair vaut 0 ou 2.
- E.14 Un graphe connexe admet un cycle eulérien si et seulement si tous les sommets sont de degrés pair.
- E.15 Le nombre chromatique d'un graphe est inférieur ou égal à r + 1, ou r est le plus grand degré de ses sommets.
- E.16 Dans les polygones équivalents, le polygone régulier a le plus petit périmètre.
- E.17 Dans les polygones réguliers et convexes équivalents, le polygone qui a le plus de côtés possède le plus petit périmètre.
- E.18 Dans les prismes rectangulaires avec la même aire totale, le cube a le plus grand volume.E.19 Dans les solides qui ont la même aire totale, la sphère a le plus grand volume.
- E.20 Dans les prismes rectangulaires équivalents,ents, le cube a la plus petite aire totale.E.21 Dans les solides équivalents, la sphère a la plus petite aire totale.